Как загрузить файл на dropbox?

Например, использовать dropbox-api и их реализацию под .net. Для этого вам нужен токен, который можете получить здесь после авторизации.

Пример загрузки файла:

//DropBoxClient создает через конструктор, 
//в который передаете ваш токен new DropboxClient("Токен")
async Task Upload(DropboxClient dbx, string folder, string file, string content)
{
    using (var mem = new MemoryStream(Encoding.UTF8.GetBytes(content)))
    {
        var updated = await dbx.Files.UploadAsync(
            folder + "/" + file,
            WriteMode.Overwrite.Instance,
            body: mem);
        Console.WriteLine("Saved {0}/{1} rev {2}", folder, file, updated.Rev);
    }
}

Более подробно можете почитать тут.