Нужно выполнить поиск в массиве строк пустых элементов и вернуть количество вхождений пустых строк

private static int GetEmptyStringCount(string[] array)
    {
        if (array == null) 
           throw new ArgumentNullException(nameof(arrayToSearch));
        if (array.Length == 0) 
           return 0;
        var count = array.Count(string.IsNullOrEmpty);
        return count;
    }

К чему такие трудности в вашем методе? Если вам нужно просто посчитать количество пустых строк - то используйте Linq:

private static int GetEmptyStringCount(string[] array)
{
    if (array == null || array.Length == 0)
        throw new ArgumentException(nameof(array));

    return array.Count(x => string.IsNullOrWhiteSpace(x));
}

public static int GetEmptyStringCount(string[] arrayToSearch)
        {
            if (arrayToSearch is null)
            {
                throw new ArgumentNullException(nameof(arrayToSearch));
            }

            if (arrayToSearch.Length == 0)
            {
                return 0;
            }

            int idx = 0;
            int countEmpyStr = 0;
            while (idx <= arrayToSearch.Length - 1)
            {
                countEmpyStr += string.IsNullOrEmpty(arrayToSearch[idx]) ? 1 : 0;
                idx++;
            }

            return countEmpyStr;
        }