Корень из 2 в степени корень из 2 в степени корень из 2
Есть число, которое можно представить так:
Решаю его так:
Но тогда подходят 2 корня: 2 и 4.
Единственное место, где, как мне кажется, мог ошибиться это переход между первой и второй строчкой решения. Но вроде же нормальный рекурсивный переход. Что в этом решение не так?
Ответы (3 шт):
возможно у вас вот такой пример был:
x^x^x^x^.... = 2
https://www.youtube.com/watch?v=JrOG1tKAatg
т.е. в вашем решении надо
- найти корни
- проверить корни
тогда корень 4 отпадёт, вернее получается x^4 = 4 => x = sqrt(2) и опять приходим к тому, что такая степенная башня равна 2
Если честно, я не вижу причину для волнения.
С одной стороны, итерационный процесс x_{i+1} = ln(x_i)*2/ln(2) имеет две неподвижные точки: 2 и 4.
Но вы же ведёте итерацию не абы как, а начинаете её в точке x_0 = sqrt(2). Из этой точки итерация сходится к x = 2.
Кстати, к x = 4 никакая итерация сойтись не сможет, это неустойчивая неподвижная точка. Шаг влево - итерация сходится к 2. Шаг вправо - итерация уходит на бесконечность.
Итак, рассмотрим ряд
с k возведениями в степень. Тогда
Теперь по индукции докажем, что последовательность возрастающая и ограничена сверху 2. Базу индукции мы только что записали.
А вот теперь, когда мы доказали, что ряд возрастающий и ограничен сверху, т.е. сходится, мы применяем ваш метод (имеем право!).
И находим, что корень 4 не годится, так как ряд ограничен сверху двойкой.
Значит, остается единственное решение — 2.
Оригинал тут.