ограничения рекурсии в python

Поскольку в комментарии речь зашла про конкретный случай, предлагаю как вариант метод быстрый, но, увы, не сильно точный. Зато считается примерно секунду на предложенном автором вопроса числе:

from numba import njit

@njit()
def factorial(n):
    s = 1
    d = 0
    for i in range(2, n + 1):
        s *= i
        while s >= 10:
            s /= 10
            d += 1
    return s,d

s,d = factorial(37_826_497)
print(f'{s}e+{d}')

Вывод:

4.349383396225913e+270213647

Можно увеличить глубину рекурсии до примерно 22000 (так было когда-то, на Python 3.10 предел 14542 на моей машине). Можно сменить интерпретатор Питона на безстековый - глубина рекурсии будет ограничена только доступной памятью: около 40 миллионов вызовов на 32GB. Последнего числа вам будет достаточно если вы напишете программу достаточно правильно. (Разбор рекурсии)

По времени работы рекурсивная и итеративная программы будут одинаковы: и там и там всё время уйдёт на последовательные умножения. Накладные расходы на цикл или на рекурсию вы даже не заметите.

В соседнем ответе факториал считается приблизительно последовательным умножением и отбрасыванием младших цифр. Ещё один способ - заменить умножение числе на сложение их натуральных логарифмов. Натуральный логарифм перевести в десятичный и напечатать его:

import numpy as np


def big_factorial(n):
    i = np.arange(2, n + 1)
    lg = np.sum(np.log(i)) / np.log(10)
    m, e = np.modf(lg)
    return 10 ** m, int(e)


m, e = big_factorial(int(input()))
print(f'{m}e+{e}')

$ time echo 37826497 | python big-factorial.py
4.349383221475161e+270213647

real  0m1.153s
user  0m1.212s
sys   0m0.552s

Семь знаков этого ответа совпадают с соседним ответом, который, как сейчас станет ясно, более точный.

Можно ли получить точные цифры? Да, можно. Этот код за полтора часа вычисляет факториал и выводит его старшие цифры точно:

import math


n, d = map(int, input().split())
f = math.factorial(n);
e = int(f.bit_length() / math.log(10, 2)) - d
b = 10 ** e
print(f'{f // b}...')

$ time echo 37826497 20 | python big-factorial-exact.py 
434938339623008896624...

real  89m13.142s
user  89m7.112s
sys   0m2.428s

Можно точно оценить интервал в котором лежит факториал. Потребуется меньше минуты:

def factorial(n, d):
    e = 0
    m = 10 ** d
    low = 1
    high = 1
    for i in range(2, n + 1):
        low *= i
        c = 0
        while low >= m:
            low //= 10
            c += 1
        f = 10 ** c
        e += c

        high = (high * i + f - 1) // f
    return low, high, e


n, d = map(int, input().split())
low, high, e = factorial(n, d)
print(low, f'* 10^{e}')
print(high, f'* 10^{e}')

$ time echo 37826497 20 | python big-factorial-interval.py 
43493833962268738973 * 10^270213628
43493833962333044522 * 10^270213628

real  0m47.203s
user  0m47.196s
sys   0m0.000s