Как найти высоту от хорды до дуги для любой точки хорды?

h = R*(Cos(fi)-Cos(alpha/2))

где fi - угол отклонения от центра дуги, alpha - центральный угол дуги

Перенесем начало координат в центр окружности. Пусть (x2,y2) - радиус вектор одного края хорды. (x0,y0) - радиус вектор точки на хорде откуда идет перпендикуляр до окружности. (x,y) - радиус вектор точки пересечения перпендикуляра с окружностью (их две), h - искомая высота, R - радиус окружности. Тогда используя теорему Пифагора для треугольника (x0,y0)-(x,y)-(x2,y2) получаем систему из трех уравнений.

(1) (x-x2)^2+(y-y2)^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2+h^2;
(2) x^2+y^2=R^2;
(3) (x-x0)^2+(y-y0)^2=h^2;

... 3 уравнения, три неизвестные - h,x,y. Решаем и получаем достаточно громоздкие формулы. Приведу их, надеюсь не накосячил..

h^2=(p-y*t-x0)^2+(y-y0)^2;
где 
t=(y0-y2)/(x0-x2);
p=(x0^2+y0^2-x0*x2-y0*y2)/(x0-x2);
y=(p*t+-\sqrt{R^2(t^2+1)-p^2})/(t^2+1);

находим два значения y, до ближайшей дуги и до дальней. До ближайшей будет меньшее значение. Далее пусть хорда задается своим начальным (x2,y2) и конечным(x1,y1) значениями. Надо перебрать все возможные (x0,y0). Если поделить хорду на n частей то формула для (x0,y0) следующая

(x2+(k/n)*(x1-x2),y2+(k/n)*(y1-y2))

где k-целое пробегает значение от 1 до n-1. И в каждом таком (x0,y0) вычисляем h по вышеописанным формулам.

Окружность радиуса R, хорда с центральным углом 2α, на хорде задан параметр t ∈ [-1, 1] (0 - середина хорды). Тогда высота над хордой в точке t равна

H(t) = R[√(1 - t²sin²α) - cosα], t ∈ [-1, 1]