Как вводить данные до старта сцены Unity, если классы наследуются от MonoBehaviour?

Предлагаю следующую реализацию.

Классы Wave и Squad пусть просто хранят информацию. Они не будут MonoBehaviour.

public class Wave
{
    [SerializeField] private List<Squad> squads = new List<Squad>();

    // Количество сквадов в волне
    public int CountSquads => squads.Count;

    public Squad GetSquad (int index)
    {
        return squads[index];
    }
}

[Serializable]
public class Squad
{
    public string enemyTitle;
    public int amount;
    public int innerDelay;
    public int otherSquadDelay;
}

Зачем в LevelData нужен список Pieces я не совсем понял, поэтому удалил его, он мне не пригодился. Если он вам нужен, добавьте.

[CreateAssetMenu(fileName = "LevelData", menuName = "ScriptableObjects/LevelData", order =51)]
public class LevelData : ScriptableObject
{
    public List<Wave> waves;
}

Я создал класс EnemiesSpawner, который хранит ссылки на префабы разных врагов и умеет спавнить этих самых врагов:

public class EnemiesSpawner : MonoBehaviour
{
    // Префабы врагов
    [SerializeField] private GameObject GoblinPrefab, OrcPrefab, HellHoundPrefab;

    public void SpawnPiece (GameObject piece)
    {
        Vector3 positions = new Vector3(0, 0, 0); // Настройки, которые вам нужны

        Instantiate(piece, positions, Quaternion.identity); // Спавним определенного врага
    }

    // Функция спавна врага по его имени title
    public void SpawnPiece(string title)
    {
        SpawnPiece(GetPieceByTitle(title));
    }

    // Функция получения префаба врага по его имени title
    private GameObject GetPieceByTitle (string title)
    {
        // Здесь нужно получать префаб врага (piece) по его имени (title)
        // Простейший способ -- switch case, но, наверно, вам стоит сделать словарик.

        switch (title)
        {
            case "Goblin":
                return GoblinPrefab;
            case "Orc":
                return OrcPrefab;
            case "HellHound":
                return HellHoundPrefab;
            // И т.д.
            default:
                throw new System.Exception("Unknown nemy title");
        }
    }
}

Класс WavesManager будет, исходя из названия, контролировать процесс спавна волн:

public class WavesManager : MonoBehaviour
{
    [Header("Level data")]
    [SerializeField] private LevelData _levelData;

    [Header("References")]
    [SerializeField] private EnemiesSpawner _spawner;

    private List<Wave> _waves;

    private void Awake()
    {
        _waves = _levelData.waves;

        StartCoroutine(SpawningProcess());
    }

    private IEnumerator SpawningProcess()
    {
        // Проходим по волнам
        foreach (Wave wave in _waves)
        {
            // Проходим по сквадам
            for (int i = 0; i < wave.CountSquads; i++)
            {
                Squad currSquad = wave.GetSquad(i);
                // Проходим по врагам в скваде
                for (int j = 0; j < currSquad.amount; j++)
                {
                    _spawner.SpawnPiece(currSquad.enemyTitle); // Спавним врага

                    if (j < currSquad.amount - 1)
                        yield return new WaitForSeconds(currSquad.innerDelay); // Задержка между врагами в скваде
                }

                if (i < wave.CountSquads - 1)
                    yield return new WaitForSeconds(currSquad.otherSquadDelay); // Задержка между сквадами
            }

            yield return new WaitForSeconds(3); // Время между волнами
        }
    }
}

Некоторые комментарии:

1. Не советую хранить название врагов в строке string. Во-первых, легко опечататься, во-вторых, вообще плохая практика. Советую выбрать или перечисления enum, или вообще указывать в инспекторе сразу префабы врагов, то есть вместо переменной string enemyTitle сделать GameObject EnemyPrefab и его же и спавнить. Так нам даже не понадобится функция GetPieceByTitle.

2. Я не увидел в вашем коде задержку между волнами, поэтому просто поставил ее равной 2 секундам. Думаю, она мжет отличаться от уровня к уровню, поэтому можно сделать переменную otherWaveDealy в классе Wave. Тогда в классу WaveManager строку yield return new WaitForSeconds(3); нужно заменить на yield return new WaitForSeconds(wave.otherWaveDelay);

3. Я сделал переменную squads приватной, ибо нефиг ей быть публичной, чтобы ее можно было изменять из сторонних классов. Я добавил геттер количества волн CountSquad и геттер конкретной i-й волны GetSquad(index). Получается более надежный механизм: из других классов получать волны можно, но изменять нельзя.