Как сравнить время и вывести, в зависимости от времени, статус (день, ночь или вечер)? На JavaScript

Вы сравниваете значение с элементом DOM. Необходимо взять значение из элемента и его сравнивать. Т.к. у вас значение внутри элемента, можно воспользоваться свойством innerHTML(Оно возвращает текст из HTML элемента) или innerText

  let textStatus = document.getElementById('textStatus')
  let textStatus2 = document.getElementById('textStatus2')

  time = document.getElementById('time').innerHTML // <- !!!
  time2 = document.getElementById('time2')
  
  // В функции мы уже обращаемся к переменной, а не ищем каждый раз элемент в DOM дереве
  function status() {
      if (time <= '18:00' && time >= '06:00'){
          textStatus.innerHTML = 'day'
      }else if (time >= '18:00' && time < '23:00'){
          textStatus.innerHTML = 'evening'
      }else if (time >= '23:00' && time < '06:00'){
          textStatus.innerHTML = 'night'
      }
  }