Обработка исключения в асинхронном коде

Чтобы обработать ошибку TypeError и продолжить исполнение, вы должны:

1. Поместить обработку внутрь цикла while
2. Убрать строчку raise e

Также может возникать ошибка, связанная с тем, что вы не применяете оператор await к вызову корутины queue.put(None) в блоке "Запуск продюсера". Вот исправленная версия кода:

import asyncio


async def producer(queue):
    for i in range(7):
        await queue.put(i)
        await asyncio.sleep(0.2)
        print('Producer Queue size:', queue.qsize())


async def consumer(queue):
        while True:
            try:
                item = await queue.get()
                await asyncio.sleep(0.3)
                print(item)

                if item is None:
                    print('Queue is empty')
                    queue.task_done()
                    break

                if item == 3:
                    raise TypeError("Producer got exception")

                queue.task_done()
                print('Queue size:', queue.qsize())

            except TypeError as e:
                print(f'Error happened asf {e}')
                queue.task_done()

async def main():
    queue = asyncio.Queue()
    producer_task = asyncio.create_task(producer(queue))
    consumer_task = asyncio.create_task(consumer(queue))

    # Запуск продюсера
    await asyncio.gather(producer_task)
    await queue.put(None)
    # .join чтобы работало пока очередь непуста
    await queue.join()
    consumer_task.cancel()  # Выход из цикла while
    # Запуск consumer_task с возвратом ошибок
    result = await asyncio.gather(consumer_task, return_exceptions=True)
    print(result)


if __name__ == '__main__':
    asyncio.run(main())

Как упомянул @andreymal, чтобы прервать исполнение, вы должны убрать строчку await queue.join() в функции main и вкрнуть строчку raise e:

import asyncio


async def producer(queue):
    for i in range(7):
        await queue.put(i)
        await asyncio.sleep(0.2)
        print('Producer Queue size:', queue.qsize())


async def consumer(queue):
    while True:
        try:
            item = await queue.get()
            await asyncio.sleep(0.3)
            print(item)

            if item is None:
                print('Queue is empty')
                queue.task_done()
                break

            if item == 3:
                raise TypeError("Producer got exception")

            queue.task_done()
            print('Queue size:', queue.qsize())

        except TypeError as e:
            print(f'Error happened asf {e}')
            queue.task_done()
            raise e


async def main():
    queue = asyncio.Queue()
    producer_task = asyncio.create_task(producer(queue))
    consumer_task = asyncio.create_task(consumer(queue))

    # Запуск продюсера
    await asyncio.gather(producer_task)

    await queue.put(None)
    # .join чтобы работало пока очередь непуста
    consumer_task.cancel()  # Выход из цикла while
    # Запуск consumer_task с возвратом ошибок
    result = await asyncio.gather(consumer_task, return_exceptions=True)
    print(result)


if __name__ == '__main__':
    asyncio.run(main())