Как использовать интерполяционный многочлен Лагранжа для функций от многих переменных?

Question

В случае интерполяции функции от одной переменной всё относительно просто:

def create_basic_polynomial(x_values, i):
    def basic_polynomial(x):
        divider = 1
        result = 1
        for j in range(len(x_values)):
            if j != i:
                result *= (x-x_values[j])
                divider *= (x_values[i]-x_values[j])
        return result/divider
    return basic_polynomial


def create_lagrange_polynomial(x_values, y_values):
    basic_polynomials = []
    for i in range(len(x_values)):
        basic_polynomials.append(create_basic_polynomial(x_values, i))

    def lagrange_polynomial(x):
        result = 0
        for i in range(len(y_values)):
            result += y_values[i]*basic_polynomials[i](x)
        return result
    return lagrange_polynomial


x_values = [0, 2, 3, 5]
y_values = [0, 1, 3, 2]

lag_pol = create_lagrange_polynomial(x_values, y_values)

for x in x_values:
    print("x = {:.4f}\t y = {:4f}".format(x,lag_pol(x)))

x = 0.0000   y = 0.000000
x = 2.0000   y = 1.000000
x = 3.0000   y = 3.000000
x = 5.0000   y = 2.000000

Но как же реализовать логику работы с функциями от многих переменных?

Answer 1

Если сетка прямоугольная, т.е. если есть наборы X-ов и Y-ов, а целевые значения известны для каждой пары (x,y) из этих наборов f(X[i],Y[j])=F[i][j], то можно применить следующий подход:

Пусть нам заданы входные параметры (x, y), не из множества X*Y, тогда для каждого x_i из X, с помощью полинома Лагранжа находим значение G[i]=f(X[i],y) используя при этом только те точки целевой функции, которые соответствуют x==X[i], т.е. применим одномерную формулу только для y. Потом, применим одномерную формулу по оси x: используем X- как множество контрольных точек, а G - значения в них.

Пример (простой для понимая, но о-очень плохой по производительности):

def create_lagrange_polynomial_2D(x_values, y_values, f_values):
    def lagrange_polynomial(x, y):
        G = []
        for i in range(len(x_values)):
            G.append( create_lagrange_polynomial(y_values, f_values[i])(y) )
        return create_lagrange_polynomial(x_values, G)(x)
   return lagrange_polynomial

Если использовать обозначения из https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0 , то после подстановок, можно получить формулу:

Из формулы видно, что вычисления можно сильно оптимизировать, если заранее посчитать полиномы l по каждой оси.

БЛОГ НА HUSL

Как использовать интерполяционный многочлен Лагранжа для функций от многих переменных?

Ответы (1 шт):