Доказать, что множество определения ln(x,y,z) открыто
Доказать, что множество, на котором определена функция f(x,y,z) = ln(xyz), открыто. Для задания предполагается решение вида: "Рассмотрим множество (0, +inf) - открыто, f непрерывно => f^(-1) (0, +inf) = D(f) - открыто.", используя критерий непрерывности (топологическое определение): "f - непрерывная <=> прообраз любого открытого множества открыт." Почему тогда нельзя рассмотреть [0, +inf) или, того хуже, R и сказать, что f(R) = D(f)? [0, +inf) и R, очевидно замкнуты, а D(f) не замкнуто. И вообще из этих трёх утверждений не является ли только f^(-1) (R) = D(f) верным? Но тогда отсюда же следует, что D(f) должно быть замкнуто, а оно таковым не является: возьмём точку x0 = (0, 0, 0) ∉ D(f) и последовательность (1/n, 1/n, 1/n) ∈ D(f) --> x0 => x0 - точка прикосновения не из D(f)
- Я прочитал этот критерий на сайте ИТМО. То есть то, что там говорится про замкнутые множетсва - это неправда?
- Если правда, то не должно быть f^(-1)(R) = D(f) тогда быть и замкнуто, и открыто одновременно? Первое уж точно не верно.
- Почему прообраз нуля не определён? f^(-1)(0) уж точно содержит точку (1, 1, 1)
P.S. Задание из контрольной по матану второго семестра. Преподаватель очень путано объясняет
Ответы (1 шт):
Что вам следует сделать - доказать что для любого вещественного числа w найдутся три числа, такие что ln(xyz) = w. Например: x = ew, y = z = 1. Вы показали что что образ функции совпадает с R, а R - открыто. Функция непрерывна, значит прообраз R тоже открыт.
Если вас не устраивает такой подход, постройте область определения функции явно. Октантов всего восемь, четыре из них образуют облась определения. Все четыре открытые множества.