Как сохранить состояние горизонтально прокрутки?

Вся ваша проблема сейчас заключается в том, что вы не умеете правильно работать с WPF, из-за чего вы делаете уйму лишних телодвижений. У WPF обязательно надо знать и понимать 2 основных механизма, а именно XAML и Привязки (Binding), если вы ими пренебрегаете, то вы получаете головную боль, которая не очень хорошо скажется на вашем проекте. В вашем проекте вообще не должно быть x:Name, как и не должно быть обращения по имени к UI элементу через код, запомните это правило, оно очень важное!

Сейчас вы делаете

tw_tree.ItemsSource = null;
tw_tree.ItemsSource = newSource;

Что заставляет WPF перерисовать полностью весь TreeView, подстроив его под новые данные, когда он мог просто дополнить существующее представление новым. Из-за этого у вас и возникают проблемы с выделением, ведь вы выделаете объект, который потом удаляете, после чего опять добавляете.

Теперь давайте посмотрим на то, что у вас должно быть:

1. Класс "ноды", который будет содержать в себе все данные конкретной ноды. В моем случае он будет содержать просто имя и коллекция внутренних нод:

   public class Node(string name)
   {
       public string Name { get; set; } = name;
       public ObservableCollection<Node> Nodes { get; set; } = [];
   }
   

2. Далее создаем класс, который будет источником данных для приложения и устанавливаем его как DataContext главному окну. У меня это будет класс MainViewModel, соответственно DataContext = new MainViewModel();.

3. В классе источника создаем публичное свойство (для привязки это важно!), которое будет содержать уже список главных нод.

   public ObservableCollection<Node> Nodes { get; } = [];
   

   Обратите внимание, я везде использую ObservableCollection - все дело в том, что при привязках, UI надо оповещать о то, что данные обновились. За это оповещение отвечают такие интерфейсы как INotifyPropertyChanged (если меняется значение свойства) и INotifyCollectionChanged (если меняются данные внутри коллекции). Свойства у нас тут значения менять не будут, а вот в коллекции мы будем добавлять новые значения, поэтому нам нужна коллекция с этим интерфейсом, ну а в C# существует 2 коллекции, которые уже реализуют его (ObsevableCollection и BindingList), вот одну из них мы и используем.

4. В коде я также создам генерацию нодов, у вас будет соответственно свое заполнение. Тут обратите внимание, мы не делаем Nodes = new ..(), мы просто добавляем/удаляем/меняем значения.

   private void Generate()
   {
       for (int i = 0; i < 10; i++)
       {
           var node = new Node($"Node {i}");
   
           if (Random.Shared.Next(0, 2) is 1)
           {
               var nodeCount = Random.Shared.Next(1, 10);
   
               for (int nodeIndex = 0; nodeIndex < nodeCount; nodeIndex++)
               {
                   var childNode = new Node($"Child Node {nodeIndex}");
                   node.Nodes.Add(childNode);
               }
           }
   
           Nodes.Add(node);
       }
   }
   

   Ну и также я создам команду для добавления в случайное место новой ноды (опять, вам это не понадобиться скорей всего, пишу просто чтоб знали, что я не делаю ничего "магического", просто добавляю в коллекцию новые объекты).

   [RelayCommand]
   private void AddNode()
   {
       var newNode = new Node("New Node");
   
       var node = Nodes[Random.Shared.Next(0, Nodes.Count)];
       node.Nodes.Add(newNode);
   
       Nodes.Add(newNode);
   }
   

5. Остался XAML, он должен быть примерно следующим:

   <Grid>
       <Grid.RowDefinitions>
           <RowDefinition />
           <RowDefinition />
       </Grid.RowDefinitions>
       <TreeView ItemsSource="{Binding Nodes}">
           <TreeView.ItemTemplate>
               <HierarchicalDataTemplate ItemsSource="{Binding Nodes}">
                   <TextBlock Text="{Binding Name}" />
               </HierarchicalDataTemplate>
           </TreeView.ItemTemplate>
       </TreeView>
   
       <Button
           Grid.Row="1"
           Command="{Binding AddNodeCommand}"
           Content="Добавить" />
   </Grid>
   

   Обратите внимание тут на ItemsSource - он задается в XAML, а не в коде, без каких либо x:Name. Также обратите внимание на HierarchicalDataTemplate - так задается вложенность (мы привязываемся к внутреннему свойству Nodes) и нужный вид ноде.

Запускаем, смотрим результат:

Как видите, у меня выделение не смещается, хотя я кликаю "добавить", где каждый клик добавляет новую ноду (очень хорошо видно по полосе прокрутки), в конце даже в Node 2 (раскрытую ноду) добавилась новая, и как видите, с выделением все в порядке. Единственное смещение будет тогда, когда мы сверху добавим множество новых объектов, из-за чего сам список сдвинется вниз, но даже в таком случае, с выделением будет все хорошо, оно останется. Собственно вот вам правильный подход к работе с WPF, который избавит вас от лишнего кода вроде того, что вы пишете сейчас. Удачи в изучении!